Construção e ordenação dos números: dos naturais aos reais

Abstract

Os números estão presentes em situações naturais do nosso dia-a-dia e o conceito de número é fundamental no nosso modo de vida. Crianças de tenra idade interiorizam muito naturalmente o conceito de número natural com a contagem de brinquedos e demais objetos que as rodeiam. O conceito de fração chega-lhes de modo também muito natural, basta pensarmos, por exemplo, na precisão que os pais devem ter no cortar de um bolo em fatias. Os números negativos aparecemlhes mais tarde, mas rapidamente se apercebem da diferença entre perder e ganhar ou entre cedo e tarde ou, ainda, entre os andares da cave e os restantes andares do seu prédio. É em conceitos como estes que os números negativos encontram um lugar natural. Os números reais são, contudo, bastante mais sofisticados! Se, por um lado, é natural e útil associar números inteiros positivos a comprimentos, áreas e volumes, como fizeram os antigos gregos, por outro lado, percebeu-se, há muito, muito tempo atrás, que esta associação nos leva a uma dificuldade séria, já que nem todo o comprimento se pode exprimir como uma fração. É claro que um sistema de números, que, se pretende, se relacionem com a noção geométrica de comprimento, tem que ser suficientemente rico para conter todos os números que não são fracções! O objetivo desta tese é proceder à construção e ordenação dos seguintes conjuntos de números: números naturais, números inteiros, números racionais e números reais. Neste sentido, procedemos à definição dos números naturais através de um conjunto de axiomas, os axiomas de Peano, que permitem obter as propriedades aritméticas conhecidas, e fazemos a construção algébrica dos números inteiros e dos números racionais, aparecendo estes números, em ambos os casos, como classes de equivalência de pares de números naturais, os primeiros, e de pares de números inteiros, os segundos. A construção dos números reais é feita com métodos da Análise, via sucessões de Cauchy.

Numbers are present in many natural situations of our day-to-day life and the concept of number is fundamental to our lifestyle. From early age children absorb very naturally the concept of number by counting their toys and other objects that surround them. The concept of fraction also arises naturally - one just has to think, for example, of the precision that parents must have when slicing a cake! They meet negative numbers later but they soon understand the difference between loosing and winning or between soon and late or between the basement and the upper floors of a building. It is in situations like these that negative numbers have a natural place. Real numbers are, however, more sophisticated! While, on one hand, it is natural and useful to associate positive integers to lengths, areas and volumes as the ancient greeks did, on the other hand it was understood long ago that this association leeds to serious difficulties since not every length can be expressed as a fraction. Clearly, a number system that is intended to be related to the geometric notion of length has to be sufficiently rich to contain all numbers that are not fractions. The objective of this thesis is to construct and order the following systems of numbers: natural numbers, integer numbers, rational numbers and real numbers. In accordance with this objective, we define the natural numbers using a set of axioms, Peano axioms, that allow us to obtain the well known arithmetic properties, and we perform the algebraic construction of both integers and rationals, as equivalence classes of pairs of natural numbers and pairs of integer numbers, respectively. The construction of real numbers is done using methods of Analysis, via Cauchy sequences.