Nondegenerate forms of the maximum principle for optimal control problems with state constraints

Abstract

The Maximum Principle (MP) plays an important role in the characterization of solutions to optimal control problems. It typically identifies a small set of candidates where the minimizers belong. However, for some optimal control problems with constraints, it may happen that the MP is unable to provide any useful information; for example, if the set of candidates to minimizers that satisfy a certain MP coincides with the set of all admissible solutions. When this happens, we say that the degeneracy phenomenon occurs. One of ours main goals, is preventing the degeneracy phenomenon to occur by imposing additional terms to the MP. In this context, we developed new strengthened forms of the MP, for optimal control problems and in particular for optimal control problems with higher index state constrains. Another case where the MP is unable to provide any useful information happens when the scalar multiplier associated with the objective function is equal to zero. So, the MP merely states a relation between the constraints and does not use the objective function to select candidates to minimizers. We have also developed strengthened forms of the MP such that the MP can be written with the multiplier associated with the objective function not zero, the so-called normal forms of the MP, for optimal control problems. These two types of strengthened forms of the MP can be applied when the problem satisfies additional hypotheses, known as constraint qualifications, and therefore the constraint qualifications are also object of our study. The nondegenerate forms of MP, that were developed in this thesis, are valid for new types of optimal control problems with state constraints both by addressing problems with less restrictions on its data, and also by developing new constraint qualifications that are verified for more problems or are easier to verify whether they are satisfied.

O Princípio do Máximo (PM) tem um papel fundamental na caracterização de soluções de problemas de controlo óptimo. O PM tipicamente identifica um pequeno conjunto de candidatos entre os quais se encontram o(s) óptimos.

Contudo, para alguns problemas de controlo óptimo com restrições, o PM poderá não fornecer qualquer informação útil; por exemplo, se o conjunto de candidatos a mínimos que satisfaz o PM coincide com o conjunto de todas as soluções admissíveis. Quando tal acontece, dizemos que o fenómeno de degeneração ocorre.

Um dos nossos principais objectivos, é garantir a não ocorrência do fenómeno de degeneração impondo condições adicionais ao PM. Neste contexto, desenvolvemos formas fortalecidas do PM para problemas de controlo óptimo e em particular para problemas de controlo óptimo com restrições de estado de “elevado" índice.

Outro caso em que o PM não fornece informação útil, ocorre quando o multiplicador associado à função objectivo é igual a zero. Neste caso o PM é uma mera relação entre as restrições e portanto não usa a função objectiva para seleccionar um conjunto de candidatos a mínimos. Desenvolvemos, também, formas fortalecidas do PM de modo a que possam ser escritas com o multiplicador associado à função objectivo não nulo, denominadas por PM normais, para problemas de controlo óptimo.

Estes dois tipos de condições fortalecidas são aplicáveis apenas quando o problema satisfaz hipóteses adicionais, conhecidas como qualificações de restrição, e portanto as qualificações de restrição são também objecto do nosso estudo.

As formas não degeneradas do PM, desenvolvidas nesta tese, são válidas para novos tipos de problemas de controlo óptimo com restrições de estado, simultaneamente por permitirem problemas com menos restrições nos dados, e também por desenvolverem qualificações de restrição que são verificadas para um maior número de problemas ou são mais fáceis de verificar.