Problema de optimização com restrições de complementaridade: uma aplicação ao mercado de energia eléctrica

Abstract

Este trabalho tem dois objectivos - a análise do Problema de Optimização com Restrições de Complementaridade e a sua aplicação a um caso real. O problema, conhecido na literatura por MPCC (Mathematical Program with Complementarity Constraints), insere-se na área da Optimização Não Linear e apresenta, para além das restrições não lineares, restrições de complementaridade. O conceito de complementaridade está relacionado com a noção de equilíbrio, daí a sua aplicabilidade na Engenharia e na Economia. É um problema de difícil resolução porque as usuais qualificações das restrições, necessárias para garantir a convergência dos algoritmos, falham em todos os pontos admissíveis. Têm sido desenvolvidos algoritmos específicos para a sua resolução mas necessitam de condições muito fortes para garantir eventual convergência. Estudos recentes provaram que a estacionaridade forte dum problema MPCC é equivalente às condições de optimalidade de primeira ordem do problema NLP equivalente (NonLinear Program). Com base neste resultado, uma reformulação NLP é usada na qual as restrições de complementaridade são substituídas por restrições não lineares de desigualdade equivalentes, podendo o problema MPCC ser resolvido por solvers NLP. Um conjunto de noventa e dois problemas codificados em AMPL é resolvido, na sua reformulação NLP equivalente, por quatro pacotes de software - LOQO, MATLAB, NPSOL e Filter SQP. É feita uma análise comparativa dos resultados. O segundo objectivo deste trabalho consiste na formulação e codificação em AMPL de uma aplicação real, bem como a sua resolução usando alguns solvers. É estudado um problema de média dimensão relacionado com o mercado oligopolista de energia eléctrica, modelado como um jogo de Stackelberg.

This work has two goals - the Mathematical Program with Complementarity Constraints analysis and its application to a real case. The problem, MPCC, is part of the Nonlinear Optimization and presents nonlinear constraints as well as complementarity constraints. The complementarity concept is related to the equilibrium notion and so the MPCC is very common in Engineering and Economics areas. This problem is very dificult to solve because the usual constraints qualifications, necessary to guarantee the algorithms convergence, fail in all feasible points. Some specific algorithms to solve MPCC have been developed but they need strong assumptions to converge. Recent studies have proved that the strong stationarity of an MPCC is equivalent to the first order optimality conditions of the nonlinear program (NLP) equivalent. Using this result, an NLP reformulation is used in which the complementarity constraints are replaced by the equivalent nonlinear inequality constraints in such a way that the MPCC can be solved by NLP codes. A set of ninety two AMPL problems is solved, in its equivalent NLP reformulation, by four software packages - LOQO, MATLAB, NPSOL and Filter SQP. A results comparative analysis is made. The second purpose of this work is the formulation and the AMPL codification of a real application as well as its resolution by NLP solvers. A medium scale problem related to electric energy oligopolist market, modelled as a Stackelberg game, is studied.